Đề thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2015

Kì thi học sinh giỏi quốc gia năm 2015 diễn ra từ ngày 7 đến ngày 10 tháng 1. Môn Toán được thi vào 2 ngày 8-9/1/2015 với 2 đề thi: Đề ngày thứ nhất gồm 4 câu, đề ngày thứ hai gồm 3 câu. Tổng điểm của 2 bài thi là 40 điểm.

Đề thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán 2015 ngày 2. Ảnh: Facebook

Đề VMO 2015 ngày 1. Nguồn ảnh: FB

Đề thi ngày thứ nhất (8/1/2015)

Bài 1. Cho $a$ là một số thực không âm và $(u_n)$ là dãy số xác định bởi $$u_1=3,\, u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+\frac{n^2}{4n^2+a}\sqrt{u_n^2+3} \text{ với mọi } n\geq 1.$$
a) Với $a=0$, chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Với mọi $a\in[0,1]$, chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn.

Bài 2. Cho $a, b, c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng $$3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$$ $$+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq(a+b+c)^2.$$

Bài 3. Cho số nguyên dương $K$. Tìm số tự nhiên $n$ không vượt quá $10^K$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) $n$ chia hết cho 3
ii) các chữ số trong biểu diễn thập phân của $n$ thuộc tập hợp $\{2, 0, 1, 5\}$.

Bài 4. Cho dường tròn $(O)$ và hai điểm $B, C$ cố định trên $(O)$, $BC$ không là đường kính. Một điểm $A$ thay đổi trên $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $E, F$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B, C$ của tam giác $ABC$. Cho $(I)$ là đường tròn thay đổi đi qua $E, F$ và có tâm là $I$.
a) Giả sử $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại điểm $D$. Chứng minh rằng $$\dfrac{DB}{DC}=\sqrt{\dfrac{\cot B}{\cot C}}.$$
b) Giả sử $(I)$ cắt cạnh $BC$ tại hai điểm $M, N$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $P, Q$ là các giao điểm của $(I)$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$. Đường tròn $(K)$ đi qua $P, Q$ và tiếp xúc với $(O)$ tại điểm $T$ ($T$ cùng phía $A$ đối với $PQ$). Chứng minh rằng đường phân giác trong của góc $\widehat{MTN}$ đi qua một điểm cố định.

Đề thi ngày thứ hai (9/1/2015)

Bài 5. Cho $(f_n(x))$ là dãy đa thức xác định bởi:
$f_0(x)=2,f_1(x)=3x,f_n(x)=3xf_{n-1}(x)+(1-x-2x^2)f_{n-2}(x)$ với mọi $n\ge 2$.
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để $f_n(x)$ chia hết cho đa thức $x^3-x^2+x$.

Bài 6. Với $a,n$ nguyên dương, xét phương trình $a^2x+6ay+36z=n$, trong đó $x,y,z$ là các số tự nhiên
a) Tìm tất cả các giá trị của $a$ để với mọi $n\ge 250$, phương trình đã cho luôn có nghiệm $(x,y,z)$.
b) Biết rằng $a>1$ và nguyên tố cùng nhau với $6$. Tìm giá trị lớn nhất của $n$ theo $a$ để phương trình đã cho không có nghiệm $(x,y,z)$.

Bài 7. Cho $m$ học sinh nữ và $n$ học sinh nam $(m,n\ge 2)$ tham gia một Liên hoan Song ca. Tai Liên hoan song ca, mỗi buổi biểu diễn văn nghệ. Mỗi chương trình văn nghệ bao gồm một số bài song ca nam-nữ mà trong đó mỗi đôi nam-nữ chỉ hát với nhau không quá một bài và mỗi học sinh đều được hát ít nhất một bài. Hai chương trình được coi là khác nhau nếu có một cặp nam-nữ hát với nhau ở chương trình này nhưng không hát với nhau ở chương trình kia. Liên hoan Song cả chỉ kết thúc khi tất cả các chương trình khác nhau cỏ thế có đều được biểu diễn, mỗi chương trình được biểu diễn đúng một lần.
a) Một chương trình được gọi là lệ thuộc vào học sinh X nếu như hủy tất cả các bài song ca mà X tham gia thì có ít nhất một học sinh khác không được hát bài nào trong chương trình đó. Chứng minh rằng trong tất cả các chương trình lệ thuộc vào X thì số chương trình có số lẻ bài hát bằng số chương trình có số chẵn bài hát.
b) Chứng minh rằng Ban tổ chức Liên hoan có thể sắp xếp các buổi biểu diễn sao cho số các bài hát tại hai buổi biểu diễn liên tiếp bất kỳ không cùng tính chẵn lẻ.

Các học sinh VN đạt điểm tuyệt đối tại IMO (Olympic Toán học Quốc tế)

Trong kì thi Olympic Toán học Quốc tế IMO, số điểm tối đa của bài thi là 42 điểm (6 câu hỏi, mỗi câu 7 điểm). Riêng năm 1979, số điểm tối đa mà các thí sinh có thể đạt được là 40 (6+7+7+6+7+7).

Kể từ lần đầu tham dự vào năm 1974, đến nay đoàn học sinh Việt Nam đã có 9 người đạt điểm tuyệt đối tại kì thi Olympic Toán học Quốc tế (IMO) sau 38 lần. Gồm có:

1. Lê Bá Khánh Trình (IMO 1979, 40/40 điểm) - học sinh trường Quốc học Huế, Thừa Thiên Huế.
2. Lê Tự Quốc Thắng (IMO 1982, 42/42 điểm) - học sinh trường chuyên Lê Hồng Phong, TP HCM.
3. Đàm Thanh Sơn (IMO 1984) - học sinh trường Trung học phổ thông chuyên KHTN, ĐHQG HN.
4. Ngô Bảo Châu (IMO 1988) - học sinh trường Trung học phổ thông chuyên KHTN, ĐHQG HN. 
5. Đinh Tiến Cường (IMO 1989) - học sinh trường Trung học phổ thông Chuyên, Đại học Sư phạm Hà Nội.
6. Ngô Đắc Tuấn (IMO 1995) - học sinh trường Trung học phổ thông chuyên KHTN, ĐHQG HN.
7. Đỗ Quốc Anh (IMO 1997) - học sinh trường Trung học phổ thông chuyên KHTN, ĐHQG HN.
8. Lê Hùng Việt Bảo (IMO 2003) - học sinh trường Trung học phổ thông chuyên KHTN, ĐHQG HN.
9. Nguyễn Trọng Cảnh (IMO 2003) - hs trường Trung học phổ thông Chuyên, Đại học Sư phạm Hà Nội

Kì thi gần nhất có học sinh Việt Nam đạt điểm tuyệt đối là IMO 2003 (với 2 thí sinh). Từ đó đến nay, không có thêm thí sinh nào đạt được (hoặc tiệm cận) mức điểm tối đa.

Năm 2003, có 2 học sinh Việt Nam đạt điểm tối đa IMO

Trong số 9 người từng đạt điểm tuyệt đối, Lê Bá Khánh Trình là người duy nhất giành được giải thưởng đặc biệt trong một kì thi IMO (1979). Hiện nay, ông đang giảng dạy tại ĐHKH Tự nhiên TpHCM và thường xuyên dẫn đầu đoàn HS Việt Nam tham dự các kì IMO gần đây.

Xem thêm: 6 học sinh Việt Nam từng giành 2 huy chương vàng IMO

Những học sinh Việt Nam từng đoạt 2 huy chương vàng Olympic Toán quốc tế (IMO)

Việt Nam bắt đầu tham gia dự thi Olympic Toán học Quốc tế từ năm 1974 (IMO lần thứ 16). Từ đó đến nay, sau 38 lần tham dự (trừ các năm 1977 & 1981 không tham gia; năm 1980 IMO không được tổ chức), đoàn học sinh Việt Nam đã có 6 người từng đoạt 2 huy chương vàng IMO:

1. Ngô Bảo Châu tại IMO 1988 (42 điểm) và 1989 (40 điểm)
2. Đào Hải Long tại IMO 1994 (41 điểm) và 1995 (40 điểm)
3. Ngô Đắc Tuấn tại IMO 1995 (42 điểm) và 1996 (37 điểm)
4. Vũ Ngọc Minh tại IMO 2001 (33 điểm) và 2002 (35 điểm)
5. Lê Hùng Việt Bảo tại IMO 2003 (42 điểm) và 2004 (36 điểm)
6. Phạm Tuấn Huy tại IMO 2013 (33 điểm) và 2014 (32 điểm)

Trong số này, có 4 học sinh của trường phổ thông chuyên Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội là: Ngô Bảo Châu, Ngô Đắc Tuấn, Đào Hải Long và Lê Hùng Việt Bảo. Vũ Ngọc Minh là học sinh của trường chuyên Đại học Sư phạm HN, Phạm Tuấn Huy là học sinh của trường phổ thông Năng khiếu TpHCM (người vừa dành HCV IMO 2014 vào ngày 12/7).

Giáo sư Đào Hải Long và GS Ngô Bảo Châu

Nổi bật trong danh sách này là Ngô Bảo Châu - người có tổng số điểm cao nhất ở cả 2 lần tham dự (82/84 điểm) và hiện giờ là người thành công nhất trong lĩnh vực Toán học. Giáo sư Châu từng đoạt Giải thưởng Fields ("Nobel toán học") vào năm 2010. Hiện nay, ông đang là giáo sư Toán tại Đại học Chicago, Hoa Kỳ.

Kết quả IMO 2013 của đoàn Việt Nam: Thắng lớn!

(www.MATHVN.com) - Một tin vui đến với những người yêu Toán ở Việt Nam khi 6 thành viên của đoàn Việt Nam tham dự IMO 2013 (Olympic Toán học Quốc tế lần thứ 54) đều đoạt huy chương. Trong đó có 3 huy chương vàng và 3 huy chương bạc.

Năm nay các thí sinh làm bài tốt, điểm thi khá cao và tương đối đồng đều. Bảng điểm và xếp hạng của 6 thí sinh như sau:

Với kết quả này, đoàn học sinh Việt Nam được 180 điểm, xếp thứ 7 trên tổng số 97 đoàn tham dự. Đây là kết quả tốt nhất của đoàn Việt Nam trong 5 năm trở lại đây. Trong đó, em Võ Anh Đức, học sinh trường chuyên Hà Tĩnh đạt điểm số 34/42 - cao nhất đoàn VN.

Xem đầy đủ danh sánh 6 anh tài đã mang vinh quang về cho Tổ quốc và Đề thi IMO 2013.

Chi tiết:

1. Võ Anh Đức, Học sinh trường THPT Chuyên Hà Tĩnh, 34 điểm - HCV
2. Phạm Tuấn Huy, Học sinh trường Phổ thông Năng khiếu TP. HCM, 33 điểm - HCV
3. Cấn Trần Thành Trung, Học sinh trường Phổ thông Năng khiếu TP. HCM, 31 điểm - HCV
4. Đinh Lê Công, Học sinh trường THPT Chuyên - Đại học Vinh, 30 điểm - HCB
5. Trần Đăng Phúc, Học sinh trường THPT Chuyên - Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội, 28 điểm - HCB
6. Hoàng Đỗ Kiên, Học sinh trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc, 24 điểm - HCB.

Tại IMO 2013, có 45 thí sinh đoạt huy chương vàng (≥ 31 điểm); 92 huy chương bạc (≥ 24 điểm) và 141 huy chương đồng (≥ 15 điểm) trên tổng số 528 thí sinh dự thi.

Top 10 trong bảng xếp hạng toàn đoàn:

1. Trung Quốc - 5 HCV, 1 HCB - 208 điểm
2. Hàn Quốc - 5 HCV, 1 HCB - 204 điểm
3. Mỹ - 4 HCV, 2 HCB - 190 điểm
4. Nga - 4 HCV, 2 HCB - 187 điểm
5. Triều Tiên - 2 HCV, 4 HCB - 184 điểm
6. Singapore - 1 HCV, 5 HCB - 182 điểm
7. VIỆT NAM - 3 HCV, 3 HCB - 180 điểm
8. Đài Loan - 2 HCV, 4 HCB - 176 điểm
9. Anh - 2 HCV, 3 HCB, 1 HCĐ - 171 điểm
10. Iran - 2 HCV, 3 HCB, 1 HCĐ - 168 điểm

Nguồn: IMO Official

Đề thi IMO 2013 (Olympic Toán học Quốc tế 54)

(www.MATHVN.com) - Đề thi IMO 2013 (Olympic Toán học Quốc tế lần thứ 54). Kỳ thi đang diễn ra tại Colombia. Đoàn Việt Nam có 6 thí sinh tham dự (xem danh sách 6 anh tài).

Dưới đây là đề thi IMO năm 2013 (mỗi ngày 3 bài)

Ngày thứ nhất (23/7/2013 - giờ Colombia)

1 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k, n$, tồn tại các số nguyên dương $m_1, m_2, \ldots, m_k$ sao cho
$$ 1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\dots\left(1+\frac{1}{m_k}\right).$$
2 Trên mặt phẳng cho 2013 điểm màu đỏ và 2014 điểm màu xanh, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Ta chia mặt phẳng bởi các đường thẳng (không đi qua bất kì điểm nào trong các điểm đã cho) thành các vùng, sao cho không có bất kì vùng nào chứa các điểm có hai màu khác nhau. Cần ít nhất là bao nhiêu đường thẳng để luôn thực hiện được cách chia đó?

3 Cho tam giác $ABC$ và $A_1, B_1, C_1$ lần lượt là các điểm tiếp xúc của các đường tròn bàng tiếp với các cạnh $BC$, $AC$ và $AB$. Chứng minh rằng nếu tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A_1B_1C_1$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$ thì $ABC$ là tam giác vuông.

Ngày thứ hai (24/7/2013 - giờ Colombia)

4 Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$, và $W$ là một điểm trên cạnh $BC$, nằm giữa $B$ và $C$. Các điểm $M$ và $N$ theo thứ tự là chân các đường cao hạ từ các đỉnh $B$ và $C$. Gọi $\omega_1$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BWN$, và $X$ là một điểm trên đường tròn sao cho $WX$ là đường kính của $\omega_1$. Tương tự, $\omega_2$ là đường tròn ngoại tiếp của tam giác $CWM$, và $Y$ là điểm sao cho $WY$ là đường kính của $\omega_2$. Chứng minh rằng ba điểm $X, Y$ và $H$ thẳng hàng.

5 Cho $\mathbb Q_{>0}$ là tập hợp các số hữu tỉ dương, và $f: \mathbb Q_{>0} \to \mathbb R$ là hàm số thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) $f(x)f(y) \geq f(xy)$ với mọi $x, y \in \mathbb Q_{>0}$, (ii) $f(x+y) \geq f(x) + f(y)$ với mọi $x, y \in \mathbb Q_{>0}$, (iii) Tồn tại số hữu tỉ $a> 1$ sao cho $f (a) = a$.
Chứng minh rằng $f(x) = x$ với mọi $x \in \mathbb Q_{>0}$.

6 Cho số nguyên $n\geq 3$ và xét $n+1$ điểm nằm cách đều nhau trên một đường tròn. Ta đánh số các điểm này bằng các giá trị $0,1,\dots, n$, không nhất thiết theo thứ tự, và hai điểm khác nhau thì được đánh hai số khác nhau. Hai cách đánh số được xem là như nhau nếu từ cách này có thể nhận được cách kia bằng cách xoay đường tròn. Một cách đánh số được gọi là đẹp nếu, với bất kì bốn số $a<b<c<d$ với $a+d=b+c$, dây cung nối các điểm được đánh số $a$ và $d$ không cắt dây cung nối các điểm được đánh số $b$ và $c$. Gọi $M$ là số cách đánh số đẹp và $N$ là số các cặp số nguyên dương $(x,y)$ được sắp thứ tự sao cho $x+y\leq n$ và $\gcd(x,y)=1$. Chứng minh rằng $M=N+1$.

Nguồn: Art of Problem Solving

Việc chọn đội tuyển IMO 2013 có vấn đề?

(www.MATHVN.com) - Sau khi có danh sách 6 học sinh tham dự IMO 2013 (Olympic Toán học Quốc tế 54), báo điện tử Người đưa tin đã có bài đề cập đến việc gia đình học sinh Nguyễn Huy Tùng (Trường THPT chuyên Trần Phú, Hải Phòng) có khiếu nại đối với việc tuyển chọn đội tuyển dự thi IMO năm nay.

Bà Trần Thị Ánh Tuyết, mẹ của em Tùng cho biết, ngay từ khâu tuyển chọn học sinh vào đội tuyển Toán 2013 này có nhiều “luộm thuộm”. Tháng 4/2013, trên mạng của Bộ GD&ĐT có danh sách em Tùng nhưng cả gia đình và Trường Trần Phú đều không nhận được giấy báo. Khi gia đình gọi lên Trường ĐHSP Hà Nội thì được hẹn 3/5 lên tập trung. Lên đến nơi, khi họp phụ huynh, gia đình mới vỡ lẽ là Đoàn Hải Phòng thiếu lý lịch và ảnh thí sinh. Theo thông báo của thầy phụ trách, ngay 18h tối hôm đó, gia đình lại phải đưa em Tùng về Hải Phòng để làm hộ chiếu (kỳ thi olympic năm nay sẽ diễn ra ở Colombia).

Để tuyển chọn thí sinh vào Đội dự tuyển, các thí sinh phải làm 3 bài kiểm tra trong 3 tuần. Ngày 18/5, các em làm bài kiểm tra đầu tiên. Ngay sau khi kiểm tra, Tùng kể lại một số bạn rất hớn hở vì “trúng tủ”, các em này đã được luyện 4 – 5 lần. Qua tìm hiểu thì đây là đề thi Olympic Bungari năm 1997. Sở dĩ Tùng chưa được luyện vì em mới học lớp 11.

“Chúng tôi thấy không công bằng và sai vì trong quy chế ghi rõ: Đề thi chưa được làm ở bất kỳ nơi đâu. Điều kỳ lạ khác là ĐHSP thông báo là sẽ tổ chức 2 buổi kiểm tra vào các ngày thứ năm trong 2 tuần tới. Nhưng họ đột ngột thay đổi, cho thi luôn vào thứ bảy.

Hơn nữa đề thi thì kém chất lượng không bám sát yêu cầu của đề thi quốc tế. Đặc biệt, không hiểu sao Bộ GD&ĐT lại giao cho ĐHSP tổ chức trong khi trường này cũng có học sinh tham dự đội dự tuyển. Như thế là vi phạm quy chế. Không thể có chuyện vừa cử học sinh vừa tổ chức thi”.

Cũng theo phụ huynh này, chuyên gia nhiều năm phụ trách đội tuyển đi dự Olympic quốc tế đã nhận xét, hai đề bài kiểm tra sau không đủ tầm quốc tế, một học sinh bình thường cũng có thể làm được.

Ông Nguyễn Huy Hùng, phụ huynh em Tùng cho biết thêm, ngày 28/5/2013, tôi có gửi một Đơn kiến nghị Bộ GD&ĐT xem xét lại quy trình ra đề thi kiểm tra chọn Đội tuyển Olympic Toán quốc tế và tổ chức kiểm tra lại một cách công bằng, khách quan và trung thực. Tuy nhiên, đến nay tôi chưa nhận được trả lời của Bộ cũng như chưa thấy vấn đề trên được giải quyết triệt để.

“Ngày 6/6/2013, con trai tôi cho biết vào lúc 17h30 ông phó hiệu trưởng Trường THPT chuyên Sư phạm - ĐHSP Hà Nội đã thông báo danh sách 6 cháu được chọn vào đội tuyển Olympic Toán quốc tế năm 2013; 3 cháu còn lại được yêu cầu rời khỏi nơi tập huấn ngay trong tối cùng ngày. Cho tới thời điểm vừa nêu trên, trường ĐHSP không hề công bố kết quả kiểm tra cho các cháu như Bộ đã quy định tại công văn số 1754/BGDĐT- KTKĐCLGD ngày 18/3/2013”, ông Hùng bức xúc.

Trước khiếu nại của gia đình em Tùng, Bộ Giáo dục đã chính thức lên tiếng về việc này vào ngày hôm qua.

Về thắc mắc trong quá trình tập huấn và cho rằng đề thi kiểm tra chọn đội tuyển Toán học Olympic quốc tế không “xứng tầm”, Cục khảo thí khẳng định: Trường ĐH Sư phạm Hà Nội chỉ là đơn vị được Bộ GD-ĐT giao nhiệm vụ chủ trì tập huấn, không thực hiện việc triệu tập học sinh. Theo Kế hoạch ban đầu, Trường ĐHSP Hà Nội ấn định kiểm tra vào các ngày 18/5, 23/5 và 30/5. Tuy nhiên, nếu tổ chức vào ngày 30/5 thì việc chấm thi, xét chọn và báo cáo kết quả về Bộ trong những ngày đầu tháng 6 sẽ quá gấp. Hơn nữa, do lịch thi đột xuất, tối 25/5, Phó ban ra đề kiểm tra phải đi công tác nước ngoài.

Vì những lý do trên, Trường ĐH SP Hà Nội đã quyết định thay đổi lịch kiểm tra: kiểm tra bài cuối cùng vào ngày 25/5 thay vì ngày 30/5. Việc thay đổi lịch này đã được thông báo cho tất cả các học sinh tập huấn. Không có chuyện đột ngột thay đổi lịch kiểm tra nên tại buổi kiểm tra ngày 25/5 đủ 100% học sinh tham dự.

Quá trình tập huấn diễn ra nghiêm túc, đảm bảo công bằng đối với tất cả học sinh, không có học sinh nào được luyện tập riêng rẽ. Sau khi xem lại các đề kiểm tra thấy rằng đề kiểm tra lần thứ nhất có câu hỏi trùng lặp về ý tưởng với đề thi Olympic Bulgari 1997 là không vi phạm quy chế thi chọn học sinh giỏi quốc gia hiện hành. Nhằm đảm bảo cho kết quả kiểm tra khách quan, công bằng, chọn đúng học sinh có năng lực thực sự vào đội tuyển đi thi Olympic quốc tế, Trường ĐHSP Hà Nội đã mời các Giáo sư, chuyên gia giỏi ở các đơn vị: ĐH Quốc gia Hà Nội, ĐH Quốc gia TP.HCM, Viện Toán học phối hợp cùng các giảng viên Khoa Toán của Trường tham gia các khâu ra đề kiểm tra, coi kiểm tra, chấm kiểm tra.

“Riêng Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội, vì có học sinh trong đội dự tuyển nên cán bộ của trường không tham gia các khâu này. Kết quả chấm bài kiểm tra của các học sinh có điểm phân hóa rất khác nhau, cao nhất là 55,5 điểm và thấp nhất là 19,5 điểm. Do đó, ý kiến cho rằng đề thi kém chất lượng là không có cơ sở” - lãnh đạo Cục khảo thí nhấn mạnh.

Nguồn: Báo Người đưa tin và Báo Dân trí

6 học sinh Việt Nam tham dự Olympic Toán học Quốc tế IMO 2013

(www.MATHVN.com) - Cục Khảo thí của Bộ Giáo dục đã công bố danh sách 6 học sinh Việt Nam tham dự Olympic Toán học Quốc tế lần thứ 54 (IMO 2013) tại Colombia, bao gồm:

1. Đinh Lê Công, Học sinh trường THPT Chuyên - Đại học Vinh, Nghệ An.
2. Võ Anh Đức, Học sinh trường THPT Chuyên Hà Tĩnh, Hà Tĩnh.
3. Phạm Tuấn Huy, Học sinh trường Phổ thông Năng khiếu - Đại học Quốc gia TP. HCM.
4. Hoàng Đỗ Kiên, Học sinh trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc, Vĩnh Phúc.
5. Trần Đăng Phúc, Học sinh trường THPT Chuyên - Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội.
6. Cấn Trần Thành Trung, Học sinh trường Phổ thông Năng khiếu - Đại học Quốc gia TP. HCM.
Trường PTNK - ĐH Quốc gia Tp.HCM vinh dự có 2 thành viên góp mặt. IMO 2013 - Olympic Toán quốc tế lần thứ 54 - sẽ được tổ chức tại Santa Marta, Colombia. Kì thi sẽ diễn ra từ 18/7 đến 28/7/2013. Đoàn Việt Nam do TS. Lê Bá Khánh Trình (Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. HCM) dẫn đầu.

Trước đó, Bộ GD-ĐT đã triệu tập 9 học sinh giỏi nhất vào đội dự tuyển. Ngoài 6 học sinh có tên trong danh sách chính thức kể trên, 3 người còn lại của đội dự tuyển là:

7. Nguyễn Huy Tùng, trường THPT Chuyên Trần Phú, Hải Phòng.
8. Phan Văn Tín, trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội, Hà Nội.
9. Trần Văn Thái, trường THPT Chuyên Thái Bình, Thái Bình.

Dù không lọt vào đội tuyển nhưng 3 học sinh còn lại cũng được hưởng quy chế thành viên đội tuyển Olympic quốc tế và các học sinh lớp 11 sẽ được vào thẳng vòng 2 trong kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia và quốc tế trong năm học 2013-2014.

Chuyên đề Số học của Diễn đàn Toán học VMF

(www.MATHVN.com) - Chuyên đề Số học của Diễn đàn Toán học VMF chào mừng diendantoanhoc .net tròn 9 tuổi. Ban chế bản: Trần Quốc Nhật Hân [perfectstrong], Trần Trung Kiên [Ispectorgadget], Phạm Quang Toàn, Lê Hữu Điền Khuê [Nesbit], Đinh Ngọc Thạch [T*genie*] đều là thành viên của diễn đàn VMF.

Sách dày 150 trang với 7 chương. Bạn đọc có thể tải bản in PDF (soạn bằng LaTex khá đẹp) theo link sau: Download.

Theo Diendantoanhoc VMF

Giải PHƯƠNG TRÌNH HÀM bằng phương pháp thêm biến

MATHVN xin giới thiệu chuyên đề Giải phương trình hàm bằng phương pháp thêm biến của thầy Nguyễn Tài Chung, GV Toán Trường THPT Chuyên Hùng Vương, Gia Lai.

Một bài toán trong tài liệu "Giải phương trình hàm..."

Đây là một phương pháp mới xuất hiện trong thời gian gần đây. Ý tưởng rất đơn giản như sau: Khi gặp những phương trình hàm với cặp biến tự do x, y, bằng cách thêm biến mới z, ta sẽ tính một biểu thức nào đó chứa x, y, z theo hai cách khác nhau, từ đây ta thu được một phương trình hàm theo ba biến x, y, z, sau đó chọn z bằng những giá trị đặc biệt để thu được những phương trình hàm mới, hướng tới kết quả bài toán.

Tải chuyên đề Phương trình hàm của thầy Chung: Download Functional Equation

Đề thi môn Toán vào lớp Chất lượng cao Đại học Sư phạm Hà Nội 2012-2013

ĐỀ THI TUYỂN VÀO LỚP CHẤT LƯỢNG CAO
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM HỌC 2012-2013

Môn TOÁN - Vòng 1

Câu I. Cho hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x-2}$.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số.
2. Tìm trên đồ thị $(C)$ các điểm $M, N$ sao cho các tiếp tuyến với $(C)$ tại $M, N$ song song với nhau, đồng thời khoảng cách giữa hai tiếp tuyến này là lớn nhất.

Câu II.
1. Giải phương trình:
$$\frac{(1+\sin x -\cos ^2 x)}{\sin ^2 x}\tan \left ( \frac{\pi}{4}-\frac{x}{2} \right )-\tan x= 2\sqrt{3}.$$
2. Giải hệ phương trình:
$$\begin{cases}
\sqrt{2x+1}-\sqrt{2y+1}+\dfrac{4}{y-x}=0 \\
(x+y)(x+2y)+3x+2y=4
\end{cases}$$
Câu III. Tính tích phân: $\displaystyle I=\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{1}\sqrt{\left ( \frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4} \right )^3}dx$.

Câu IV. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác cân đỉnh $C, AB=AA'=a.$ Đường thẳng $BC'$ tạo với mặt phẳng $(ABB'A')$ một góc $60^{\circ}$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BB', CC', BC$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $NP$.

Câu V. Tìm $m$ để phương trình $$\log_2 (|2x-1| +m)=1+\log_3 (m+4x-4x^2)$$ có nghiệm duy nhất.

Câu VI.
1. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H(2;10)$, cạnh $BC$ có phương trình: $x+2y-7=0$. Viết phương trình đường tròn $(T)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$, biết đường tròn $(T)$ có tâm nằm trên đường thẳng $d: x-y-3=0$ và bán kính bằng $5$.
2. Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho đường thẳng $d: \dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{1}$ và mặt phẳng $(P): \, x+2y-z+5=0$. Gọi $A$ là giao điểm của $d$ và $(P)$. Tìm trên $d$ điểm $B$ có hoành độ âm và điểm $C$ trên $(P)$ sao cho $AB=\sqrt{6}$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ}$.

Câu VII. Cho số phức $z$. Tìm giới hạn
$$\lim_{n \to +\infty}\left | 1+\frac{z}{n} \right |^n.$$

ĐỀ THI TUYỂN VÀO LỚP CLC ĐHSP HÀ NỘI NĂM HỌC 2012-2013

Môn TOÁN - Vòng 2

Câu I.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=x+\sqrt{4x^2+2x+1}.$
2. Tìm đường cong $y=\dfrac{ax^2+bx+c}{dx+e}$ biết nó có hai điểm cực trị là $A(0;-1)$ và $B(2;3)$.

Câu II.
1. Giải hệ phương trình:
$$\begin{cases}
& 3\left ( x+\dfrac{1}{x} \right ) =4\left ( y+\dfrac{1}{y} \right )=5\left ( z+\dfrac{1}{z} \right )\\
& xy+yz+zx=1.
\end{cases}$$
2. Giải phương trình:
$$\log_{2012} \frac{4x^2+2}{x^6+x^2+1}=x^6-3x^2-1.$$

Câu III.
1. Chứng minh $\sin 1^{\circ}$ là một số vô tỉ.

2. Chứng minh rằng trong mặt phẳng tọa độ không tồn tại tam giác đều mà tất cả các đỉnh đều là các điểm có tọa độ nguyên.

Câu IV.
1. Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=a, BC=AD=b, AC=BD=c$. Tìm vị trí của điểm $M$ trong không gian sao cho tổng $MA+MB+MC+MD$ đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó.

2. Một tam giác được gọi là nội tiếp một hình hyperbol nếu các đỉnh của nó nằm trên hyperbol. Tìm quỹ tích trực tâm của các tam giác nội tiếp trong một hình hyperbol vuông (tức là hyperbol có độ dài trục thực và trục ảo bằng nhau) cho trước.

Câu V.
1. Cho $n$ là số nguyên dương và $m$ là số nguyên không âm, $m \le n$. Chứng minh rằng:
$$\sum _{n_1+n_2+n_3=m}C_n^{n_1}C_n^{n2}C_{n}^{n_3}=C_{3n }^m.$$
2. Tìm điều kiện cần và đủ của $a,b,c,d$ để hàm số $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ nhận giá trị nguyên khi $x$ nguyên.

Phương pháp lượng giác hóa để giải phương trình, hệ pt

MATHVN xin giới thiệu một chuyên đề nhỏ của bạn đọc Mai Xuân Việt: Sử dụng Phương pháp lượng giác hóa để giải phương trình, hệ pt, tính tích phân và một số bài toán khác.

Tải phương pháp lượng giác hóa: Download Phuong phap Luong giac hoa giai phuong trinh.

Xem thêm: Lượng giác hóa để chứng minh bất đẳng thức và giải phương trình, bất pt

Phong trào chuyên Toán: Trăn trở của người trong cuộc

Dưới sự chủ trì của Giáo sư Ngô Bảo Châu, viện Nghiên cứu cao cấp về Toán đã tổ chức buổi toạ đàm giữa các nhà toán học, các nhà giáo dục, giáo viên chuyên toán và đại diện một số diễn đàn toán học để bàn về vấn đề bồi dưỡng giáo viên chuyên toán và học sinh giỏi toán.

Giáo sư Ngô Bảo Châu tại Hội nghị Toán học Việt-Pháp (Huế, 8/2012)

Trăn trở của người trong cuộc

Thực trạng đã diễn ra nhiều năm là không nhiều học sinh chuyên toán nói chung và các học sinh đoạt giải học sinh giỏi toán nói riêng tiếp tục theo học toán ở bậc đại học. Hệ quả là các khoa toán ở các trường đại học thiếu sinh viên giỏi, xuất sắc để có thể tiếp tục đào tạo ở cấp học cao hơn, tạo thành lực lượng kế cận sau này. GS Phùng Hồ Hải (viện Toán học Việt Nam) chia sẻ: “Nhiều năm nay tôi tham gia giảng dạy cho các lớp tài năng tại đại học Sư phạm, trung bình trong số 20 em của lớp này chỉ có chừng hai, ba em từng là học sinh giỏi quốc gia”. GS Nguyễn Hữu Dư, tổng thư ký hội Toán học Việt Nam bổ sung: “Khối chuyên toán đại học Khoa học tự nhiên Hà Nội từ lâu luôn tự hào đã đào tạo nhiều thế hệ học sinh sau này trở thành những nhà toán học xuất sắc, nhưng vài năm gần đây mạch nước quý đó dường như đã ngừng lại”.

Dưới góc nhìn của các giáo viên chuyên toán thì phong trào dạy và học chuyên nói chung và chuyên toán nói riêng đang chững lại. Học sinh luôn đứng trước sự lựa chọn giữa con đường học chuyên sâu để thi học sinh giỏi quốc gia và con đường học ngoại ngữ để đi du học, thêm vào đó là tác động của những thay đổi chính sách khiến học sinh giỏi không còn quá mặn mà với việc học chuyên. Bên cạnh đó, việc thiếu các chế độ đãi ngộ xứng đáng cũng dẫn đến tình trạng các trường rất khó thu hút giảng viên giỏi về dạy chuyên. TS Đậu Hoàng Hưng, tổ trưởng tổ toán trường THPT chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An cho rằng việc bỏ các lớp chuyên cấp 2 và kỳ thi học sinh giỏi toán lớp 9 đã khiến các trường chuyên phải vất vả bổ sung các kiến thức rất cơ bản về số học, hình học phẳng cho học sinh. Tiếp theo ý kiến này, GS Lê Tuấn Hoa, chủ tịch hội Toán học Việt Nam cho rằng với cách học vượt, học lướt, học sinh chỉ học được phần ngọn, tức là kỹ năng giải các bài toán theo khuôn mẫu nhất định.

Những cố gắng ban đầu

Mặc dù có những khó khăn nhất định, dù có những lúc bị tác động dữ dội, nhưng phong trào học sinh giỏi toán vẫn tiến về phía trước. Những năm gần đây, với sự tích cực của một số tổ chức, cá nhân, một số hoạt động có tác dụng thúc đẩy phong trào dạy và học chuyên toán đã được tổ chức. Đó là chương trình Trại hè toán học Hùng Vương do hội Toán học Hà Nội và một số trường chuyên vùng Tây – Việt Bắc và trung du Bắc bộ tổ chức, là Olympic duyên hải Bắc bộ, Olympic Hà Nội mở rộng. Ở phía nam, bên cạnh kỳ thi Olympic 30.4 truyền thống có kỳ thi Olympic đồng bằng sông Cửu Long, hội thảo liên kết các tỉnh duyên hải và Tây Nguyên.

Ở viện Toán học Việt Nam, dưới sự tài trợ của quỹ Phát triển toán học Việt Nam, một nhóm cán bộ trẻ của viện (hầu hết đã từng tham dự Olympic toán quốc tế) đã tổ chức CLB Toán học với mục đích cung cấp các kiến thức chuyên toán, luyện tập giải toán và lôi kéo học sinh ham thích toán học. Qua hoạt động của câu lạc bộ, các học sinh chuyên toán đã được học trực tiếp với các nhà toán học và các giáo viên chuyên toán như GS Hà Huy Khoái, GS Ngô Bảo Châu, GS Vũ Hà Văn, GS Phùng Hồ Hải, TS Nguyễn Minh Hà, TS Nguyễn Duy Thái Sơn, TS Phan Thị Hà Dương, TS Nguyễn Chu Gia Vượng, TS Vũ Thế Khôi, TS Lê Anh Vinh… Bên cạnh những kiến thức và kỹ năng cần thiết cho mục tiêu trước mắt của học sinh là các kỳ thi học sinh giỏi, học sinh còn được tiếp cận với những khởi đầu của toán cao cấp, làm quen với các vấn đề của toán học hiện đại.

Ở TP.HCM, một câu lạc bộ toán học được tổ chức với các seminar phương pháp toán sơ cấp. Đặc biệt, chương trình Gặp gỡ toán học qua bốn lần tổ chức (từ tháng 1.2010) với nhiều hoạt động phong phú đã thu hút hàng trăm lượt học sinh từ các tỉnh thành tham dự. Đây cũng là dịp để các học sinh yêu toán khu vực phía nam được học và giao lưu với các giáo sư toán học hàng đầu của Việt Nam, với những giáo viên chuyên toán nổi tiếng.

Bên cạnh các hoạt động trực tiếp nói trên, không thể không kể đến những đóng góp của các diễn đàn toán học, trong đó nổi bật nhất là diendantoanhoc.net và mathscope.org. Các diễn đàn là kênh giao lưu chia sẻ tài liệu và kinh nghiệm học tập rất hiệu quả, xoá nhoà khoảng cách về mặt tài liệu giữa các thành phố và vùng sâu vùng xa. Chính nhờ một phần vào những diễn đàn này mới có sự thành công của các học sinh học trường huyện như Võ Văn Huy – huy chương đồng toán quốc tế 2011, Nguyễn Đình Toàn – giải nhất học sinh giỏi toán quốc gia 2012.

Chờ một cú hích

Ghi nhận ý kiến của các đại biểu dự hội thảo và phần báo cáo sơ lược về hoạt động của các câu lạc bộ và diễn đàn Toán học, GS Ngô Bảo Châu gợi ý đại biểu tập trung đề xuất các hoạt động cụ thể nhằm thúc đẩy các hoạt động bồi dưỡng giáo viên chuyên toán, bồi dưỡng học sinh giỏi toán và chung hơn nữa là truyền bá toán học. Các cơ chế và động cơ vận hành của các hoạt động hiện hữu nên tiếp tục được phát huy, vấn đề là làm sao tổ chức quy củ hơn, chuyên nghiệp hơn và hiệu quả hơn. Bên cạnh đó, với sự vào cuộc của viện Nghiên cứu cao cấp về toán và chương trình trọng điểm Phát triển toán học Việt Nam giai đoạn 2010 – 2020, có thể nghĩ đến các hoạt động có ảnh hưởng sâu rộng hơn, cần sự đầu tư lớn hơn về nhân lực, tài lực.

GS Hà Huy Khoái, nguyên viện trưởng viện Toán học Việt Nam, người nhiều năm tham gia bồi dưỡng và dẫn đội tuyển Việt Nam dự thi toán quốc tế đề xuất học tập kinh nghiệm của Nga trong việc tổ chức viết các cuốn sách nhỏ để truyền bá toán học và các chuyên đề chuyên toán. Bên cạnh đó, học tập kinh nghiệm một số nước, có thể khai thác sức mạnh của internet qua các lớp học trực tuyến.

Tiếp nối ý kiến của GS Hà Huy Khoái, TS Nguyễn Chu Gia Vượng đề xuất: “Chúng ta có thể bắt đầu chương trình xuất bản sách truyền bá toán học bằng cách dịch các cuốn sách hay của Nga, Mỹ…” Ý kiến này được đa số đại biểu ủng hộ.

Tổng hợp ý kiến của các đại biểu tham dự, GS Ngô Bảo Châu đưa ra chương trình hành động bốn điểm của nhóm hạt nhân, đó là: tổ chức hoạt động bồi dưỡng học sinh giỏi; tổ chức hoạt động bồi dưỡng giáo viên; tổ chức viết các tài liệu chuyên đề và truyền bá toán học; nâng cao hiệu quả và tính định hướng của các diễn đàn toán học. GS Ngô Bảo Châu cũng đề nghị GS Hà Huy Khoái nhận lãnh trách nhiệm người đứng đầu cho mảng chuyên toán, lịch sử toán học và truyền bá toán học.

Như vậy, phong trào chuyên toán sau những giai đoạn khủng hoảng và thiếu định hướng đã có những tín hiệu ổn định, và đang chờ một cú hích như cú hích năm 2010 mà GS Ngô Bảo Châu đem đến cho toán học Việt Nam.

Theo TS. TRẦN NAM DŨNG (SGTT)

Phương pháp giải toán số học sơ cấp của thầy Hà Duy Hưng

Phương pháp giải toán số học sơ cấp của thầy Hà Duy Hưng (Đại học Sư phạm Hà Nội).
Xem tóm tắt nội dung trong phần mở đầu của tài liệu (ảnh):

Tải bản in (PDF) của tài liệu này: Download Phuong phap giai toan So hoc so cap.

Liên quan: Ứng dụng lý thuyết đồng dư trong các bài toán chia hết - Hà Duy Nghĩa