Đề thi môn Toán vào lớp Chất lượng cao Đại học Sư phạm Hà Nội 2012-2013

ĐỀ THI TUYỂN VÀO LỚP CHẤT LƯỢNG CAO
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM HỌC 2012-2013

Môn TOÁN - Vòng 1

Câu I. Cho hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x-2}$.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số.
2. Tìm trên đồ thị $(C)$ các điểm $M, N$ sao cho các tiếp tuyến với $(C)$ tại $M, N$ song song với nhau, đồng thời khoảng cách giữa hai tiếp tuyến này là lớn nhất.

Câu II.
1. Giải phương trình:
$$\frac{(1+\sin x -\cos ^2 x)}{\sin ^2 x}\tan \left ( \frac{\pi}{4}-\frac{x}{2} \right )-\tan x= 2\sqrt{3}.$$
2. Giải hệ phương trình:
$$\begin{cases}
\sqrt{2x+1}-\sqrt{2y+1}+\dfrac{4}{y-x}=0 \\
(x+y)(x+2y)+3x+2y=4
\end{cases}$$
Câu III. Tính tích phân: $\displaystyle I=\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{1}\sqrt{\left ( \frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4} \right )^3}dx$.

Câu IV. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác cân đỉnh $C, AB=AA'=a.$ Đường thẳng $BC'$ tạo với mặt phẳng $(ABB'A')$ một góc $60^{\circ}$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BB', CC', BC$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $NP$.

Câu V. Tìm $m$ để phương trình $$\log_2 (|2x-1| +m)=1+\log_3 (m+4x-4x^2)$$ có nghiệm duy nhất.

Câu VI.
1. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H(2;10)$, cạnh $BC$ có phương trình: $x+2y-7=0$. Viết phương trình đường tròn $(T)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$, biết đường tròn $(T)$ có tâm nằm trên đường thẳng $d: x-y-3=0$ và bán kính bằng $5$.
2. Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho đường thẳng $d: \dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{1}$ và mặt phẳng $(P): \, x+2y-z+5=0$. Gọi $A$ là giao điểm của $d$ và $(P)$. Tìm trên $d$ điểm $B$ có hoành độ âm và điểm $C$ trên $(P)$ sao cho $AB=\sqrt{6}$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ}$.

Câu VII. Cho số phức $z$. Tìm giới hạn
$$\lim_{n \to +\infty}\left | 1+\frac{z}{n} \right |^n.$$

ĐỀ THI TUYỂN VÀO LỚP CLC ĐHSP HÀ NỘI NĂM HỌC 2012-2013

Môn TOÁN - Vòng 2

Câu I.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=x+\sqrt{4x^2+2x+1}.$
2. Tìm đường cong $y=\dfrac{ax^2+bx+c}{dx+e}$ biết nó có hai điểm cực trị là $A(0;-1)$ và $B(2;3)$.

Câu II.
1. Giải hệ phương trình:
$$\begin{cases}
& 3\left ( x+\dfrac{1}{x} \right ) =4\left ( y+\dfrac{1}{y} \right )=5\left ( z+\dfrac{1}{z} \right )\\
& xy+yz+zx=1.
\end{cases}$$
2. Giải phương trình:
$$\log_{2012} \frac{4x^2+2}{x^6+x^2+1}=x^6-3x^2-1.$$

Câu III.
1. Chứng minh $\sin 1^{\circ}$ là một số vô tỉ.

2. Chứng minh rằng trong mặt phẳng tọa độ không tồn tại tam giác đều mà tất cả các đỉnh đều là các điểm có tọa độ nguyên.

Câu IV.
1. Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=a, BC=AD=b, AC=BD=c$. Tìm vị trí của điểm $M$ trong không gian sao cho tổng $MA+MB+MC+MD$ đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó.

2. Một tam giác được gọi là nội tiếp một hình hyperbol nếu các đỉnh của nó nằm trên hyperbol. Tìm quỹ tích trực tâm của các tam giác nội tiếp trong một hình hyperbol vuông (tức là hyperbol có độ dài trục thực và trục ảo bằng nhau) cho trước.

Câu V.
1. Cho $n$ là số nguyên dương và $m$ là số nguyên không âm, $m \le n$. Chứng minh rằng:
$$\sum _{n_1+n_2+n_3=m}C_n^{n_1}C_n^{n2}C_{n}^{n_3}=C_{3n }^m.$$
2. Tìm điều kiện cần và đủ của $a,b,c,d$ để hàm số $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ nhận giá trị nguyên khi $x$ nguyên.