Đề thi giải toán trên MTCT khu vực 2016 cấp THCS
 |
| Đề thi mtct quốc gia 2016 cấp thcs (lớp 9). Đáp án tải về trong link dưới đây |
Hiển thị các bài đăng có nhãn Đề thi học sinh giỏi. Hiển thị tất cả bài đăng
Hiển thị các bài đăng có nhãn Đề thi học sinh giỏi. Hiển thị tất cả bài đăng
Thứ Sáu, 8 tháng 4, 2016
Đề casio THCS quốc gia năm 2016 và đáp án (MTCT khu vực)
Kì thi giải toán trên máy tính cầm tay năm 2016 vừa diễn ra vào cuối tháng 3/2016 vừa rồi, do Bộ Giáo dục & Đào tạo tổ chức và thi theo từng khu vực địa lý. Bài này sẽ giới thiệu đề thi casio cấp THCS (lớp 9) năm 2016 và đáp án (hướng dẫn chấm).
Thứ Năm, 7 tháng 1, 2016
Đề thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2016
Đề thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2016 của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Đề thi gồm có 7 câu, chia làm 2 ngày. Ngày thứ nhất với 4 câu hỏi, mỗi câu 5 điểm. Ngày thứ hai với 3 câu hỏi có tổng điểm 20.
Dưới đây đề thi bằng file ảnh của ngày thi thứ nhất (6/1)
Ngày thi thứ hai (7/1)
Bạn đọc có thể tải đề thi dưới định dạng PDF ở đây: Download
Dưới đây đề thi bằng file ảnh của ngày thi thứ nhất (6/1)
Thứ Sáu, 9 tháng 1, 2015
Đề thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2015
Kì thi học sinh giỏi quốc gia năm 2015 diễn ra từ ngày 7 đến ngày 10 tháng 1. Môn Toán được thi vào 2 ngày 8-9/1/2015 với 2 đề thi: Đề ngày thứ nhất gồm 4 câu, đề ngày thứ hai gồm 3 câu. Tổng điểm của 2 bài thi là 40 điểm.
a) Với $a=0$, chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Với mọi $a\in[0,1]$, chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn.
Bài 2. Cho $a, b, c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng $$3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$$ $$+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq(a+b+c)^2.$$
Bài 3. Cho số nguyên dương $K$. Tìm số tự nhiên $n$ không vượt quá $10^K$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) $n$ chia hết cho 3
ii) các chữ số trong biểu diễn thập phân của $n$ thuộc tập hợp $\{2, 0, 1, 5\}$.
Bài 4. Cho dường tròn $(O)$ và hai điểm $B, C$ cố định trên $(O)$, $BC$ không là đường kính. Một điểm $A$ thay đổi trên $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $E, F$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B, C$ của tam giác $ABC$. Cho $(I)$ là đường tròn thay đổi đi qua $E, F$ và có tâm là $I$.
a) Giả sử $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại điểm $D$. Chứng minh rằng $$\dfrac{DB}{DC}=\sqrt{\dfrac{\cot B}{\cot C}}.$$
b) Giả sử $(I)$ cắt cạnh $BC$ tại hai điểm $M, N$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $P, Q$ là các giao điểm của $(I)$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$. Đường tròn $(K)$ đi qua $P, Q$ và tiếp xúc với $(O)$ tại điểm $T$ ($T$ cùng phía $A$ đối với $PQ$). Chứng minh rằng đường phân giác trong của góc $\widehat{MTN}$ đi qua một điểm cố định.
$f_0(x)=2,f_1(x)=3x,f_n(x)=3xf_{n-1}(x)+(1-x-2x^2)f_{n-2}(x)$ với mọi $n\ge 2$.
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để $f_n(x)$ chia hết cho đa thức $x^3-x^2+x$.
Bài 6. Với $a,n$ nguyên dương, xét phương trình $a^2x+6ay+36z=n$, trong đó $x,y,z$ là các số tự nhiên
a) Tìm tất cả các giá trị của $a$ để với mọi $n\ge 250$, phương trình đã cho luôn có nghiệm $(x,y,z)$.
b) Biết rằng $a>1$ và nguyên tố cùng nhau với $6$. Tìm giá trị lớn nhất của $n$ theo $a$ để phương trình đã cho không có nghiệm $(x,y,z)$.
Bài 7. Cho $m$ học sinh nữ và $n$ học sinh nam $(m,n\ge 2)$ tham gia một Liên hoan Song ca. Tai Liên hoan song ca, mỗi buổi biểu diễn văn nghệ. Mỗi chương trình văn nghệ bao gồm một số bài song ca nam-nữ mà trong đó mỗi đôi nam-nữ chỉ hát với nhau không quá một bài và mỗi học sinh đều được hát ít nhất một bài. Hai chương trình được coi là khác nhau nếu có một cặp nam-nữ hát với nhau ở chương trình này nhưng không hát với nhau ở chương trình kia. Liên hoan Song cả chỉ kết thúc khi tất cả các chương trình khác nhau cỏ thế có đều được biểu diễn, mỗi chương trình được biểu diễn đúng một lần.
a) Một chương trình được gọi là lệ thuộc vào học sinh X nếu như hủy tất cả các bài song ca mà X tham gia thì có ít nhất một học sinh khác không được hát bài nào trong chương trình đó. Chứng minh rằng trong tất cả các chương trình lệ thuộc vào X thì số chương trình có số lẻ bài hát bằng số chương trình có số chẵn bài hát.
b) Chứng minh rằng Ban tổ chức Liên hoan có thể sắp xếp các buổi biểu diễn sao cho số các bài hát tại hai buổi biểu diễn liên tiếp bất kỳ không cùng tính chẵn lẻ.
 |
| Đề thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán 2015 ngày 2. Ảnh: Facebook |
 |
| Đề VMO 2015 ngày 1. Nguồn ảnh: FB |
Đề thi ngày thứ nhất (8/1/2015)
Bài 1. Cho $a$ là một số thực không âm và $(u_n)$ là dãy số xác định bởi $$u_1=3,\, u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+\frac{n^2}{4n^2+a}\sqrt{u_n^2+3} \text{ với mọi } n\geq 1.$$a) Với $a=0$, chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Với mọi $a\in[0,1]$, chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn.
Bài 2. Cho $a, b, c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng $$3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$$ $$+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq(a+b+c)^2.$$
Bài 3. Cho số nguyên dương $K$. Tìm số tự nhiên $n$ không vượt quá $10^K$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) $n$ chia hết cho 3
ii) các chữ số trong biểu diễn thập phân của $n$ thuộc tập hợp $\{2, 0, 1, 5\}$.
Bài 4. Cho dường tròn $(O)$ và hai điểm $B, C$ cố định trên $(O)$, $BC$ không là đường kính. Một điểm $A$ thay đổi trên $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $E, F$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B, C$ của tam giác $ABC$. Cho $(I)$ là đường tròn thay đổi đi qua $E, F$ và có tâm là $I$.
a) Giả sử $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại điểm $D$. Chứng minh rằng $$\dfrac{DB}{DC}=\sqrt{\dfrac{\cot B}{\cot C}}.$$
b) Giả sử $(I)$ cắt cạnh $BC$ tại hai điểm $M, N$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $P, Q$ là các giao điểm của $(I)$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$. Đường tròn $(K)$ đi qua $P, Q$ và tiếp xúc với $(O)$ tại điểm $T$ ($T$ cùng phía $A$ đối với $PQ$). Chứng minh rằng đường phân giác trong của góc $\widehat{MTN}$ đi qua một điểm cố định.
Đề thi ngày thứ hai (9/1/2015)
Bài 5. Cho $(f_n(x))$ là dãy đa thức xác định bởi:$f_0(x)=2,f_1(x)=3x,f_n(x)=3xf_{n-1}(x)+(1-x-2x^2)f_{n-2}(x)$ với mọi $n\ge 2$.
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để $f_n(x)$ chia hết cho đa thức $x^3-x^2+x$.
Bài 6. Với $a,n$ nguyên dương, xét phương trình $a^2x+6ay+36z=n$, trong đó $x,y,z$ là các số tự nhiên
a) Tìm tất cả các giá trị của $a$ để với mọi $n\ge 250$, phương trình đã cho luôn có nghiệm $(x,y,z)$.
b) Biết rằng $a>1$ và nguyên tố cùng nhau với $6$. Tìm giá trị lớn nhất của $n$ theo $a$ để phương trình đã cho không có nghiệm $(x,y,z)$.
Bài 7. Cho $m$ học sinh nữ và $n$ học sinh nam $(m,n\ge 2)$ tham gia một Liên hoan Song ca. Tai Liên hoan song ca, mỗi buổi biểu diễn văn nghệ. Mỗi chương trình văn nghệ bao gồm một số bài song ca nam-nữ mà trong đó mỗi đôi nam-nữ chỉ hát với nhau không quá một bài và mỗi học sinh đều được hát ít nhất một bài. Hai chương trình được coi là khác nhau nếu có một cặp nam-nữ hát với nhau ở chương trình này nhưng không hát với nhau ở chương trình kia. Liên hoan Song cả chỉ kết thúc khi tất cả các chương trình khác nhau cỏ thế có đều được biểu diễn, mỗi chương trình được biểu diễn đúng một lần.
a) Một chương trình được gọi là lệ thuộc vào học sinh X nếu như hủy tất cả các bài song ca mà X tham gia thì có ít nhất một học sinh khác không được hát bài nào trong chương trình đó. Chứng minh rằng trong tất cả các chương trình lệ thuộc vào X thì số chương trình có số lẻ bài hát bằng số chương trình có số chẵn bài hát.
b) Chứng minh rằng Ban tổ chức Liên hoan có thể sắp xếp các buổi biểu diễn sao cho số các bài hát tại hai buổi biểu diễn liên tiếp bất kỳ không cùng tính chẵn lẻ.
Thứ Ba, 23 tháng 7, 2013
Đề thi IMO 2013 (Olympic Toán học Quốc tế 54)
(www.MATHVN.com) - Đề thi IMO 2013 (Olympic Toán học Quốc tế lần thứ 54). Kỳ thi đang diễn ra tại Colombia. Đoàn Việt Nam có 6 thí sinh tham dự (xem danh sách 6 anh tài).
Dưới đây là đề thi IMO năm 2013 (mỗi ngày 3 bài)
1 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k, n$, tồn tại các số nguyên dương $m_1, m_2, \ldots, m_k$ sao cho
$$ 1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\dots\left(1+\frac{1}{m_k}\right).$$
2 Trên mặt phẳng cho 2013 điểm màu đỏ và 2014 điểm màu xanh, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Ta chia mặt phẳng bởi các đường thẳng (không đi qua bất kì điểm nào trong các điểm đã cho) thành các vùng, sao cho không có bất kì vùng nào chứa các điểm có hai màu khác nhau. Cần ít nhất là bao nhiêu đường thẳng để luôn thực hiện được cách chia đó?
3 Cho tam giác $ABC$ và $A_1, B_1, C_1$ lần lượt là các điểm tiếp xúc của các đường tròn bàng tiếp với các cạnh $BC$, $AC$ và $AB$. Chứng minh rằng nếu tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A_1B_1C_1$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$ thì $ABC$ là tam giác vuông.
4 Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$, và $W$ là một điểm trên cạnh $BC$, nằm giữa $B$ và $C$. Các điểm $M$ và $N$ theo thứ tự là chân các đường cao hạ từ các đỉnh $B$ và $C$. Gọi $\omega_1$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BWN$, và $X$ là một điểm trên đường tròn sao cho $WX$ là đường kính của $\omega_1$. Tương tự, $\omega_2$ là đường tròn ngoại tiếp của tam giác $CWM$, và $Y$ là điểm sao cho $WY$ là đường kính của $\omega_2$. Chứng minh rằng ba điểm $X, Y$ và $H$ thẳng hàng.
5 Cho $\mathbb Q_{>0}$ là tập hợp các số hữu tỉ dương, và $f: \mathbb Q_{>0} \to \mathbb R$ là hàm số thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) $f(x)f(y) \geq f(xy)$ với mọi $x, y \in \mathbb Q_{>0}$, (ii) $f(x+y) \geq f(x) + f(y)$ với mọi $x, y \in \mathbb Q_{>0}$, (iii) Tồn tại số hữu tỉ $a> 1$ sao cho $f (a) = a$.
Chứng minh rằng $f(x) = x$ với mọi $x \in \mathbb Q_{>0}$.
6 Cho số nguyên $n\geq 3$ và xét $n+1$ điểm nằm cách đều nhau trên một đường tròn. Ta đánh số các điểm này bằng các giá trị $0,1,\dots, n$, không nhất thiết theo thứ tự, và hai điểm khác nhau thì được đánh hai số khác nhau. Hai cách đánh số được xem là như nhau nếu từ cách này có thể nhận được cách kia bằng cách xoay đường tròn. Một cách đánh số được gọi là đẹp nếu, với bất kì bốn số $a<b<c<d$ với $a+d=b+c$, dây cung nối các điểm được đánh số $a$ và $d$ không cắt dây cung nối các điểm được đánh số $b$ và $c$. Gọi $M$ là số cách đánh số đẹp và $N$ là số các cặp số nguyên dương $(x,y)$ được sắp thứ tự sao cho $x+y\leq n$ và $\gcd(x,y)=1$. Chứng minh rằng $M=N+1$.
Nguồn: Art of Problem Solving
Dưới đây là đề thi IMO năm 2013 (mỗi ngày 3 bài)
Ngày thứ nhất (23/7/2013 - giờ Colombia)
$$ 1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\dots\left(1+\frac{1}{m_k}\right).$$
2 Trên mặt phẳng cho 2013 điểm màu đỏ và 2014 điểm màu xanh, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Ta chia mặt phẳng bởi các đường thẳng (không đi qua bất kì điểm nào trong các điểm đã cho) thành các vùng, sao cho không có bất kì vùng nào chứa các điểm có hai màu khác nhau. Cần ít nhất là bao nhiêu đường thẳng để luôn thực hiện được cách chia đó?
3 Cho tam giác $ABC$ và $A_1, B_1, C_1$ lần lượt là các điểm tiếp xúc của các đường tròn bàng tiếp với các cạnh $BC$, $AC$ và $AB$. Chứng minh rằng nếu tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A_1B_1C_1$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$ thì $ABC$ là tam giác vuông.
Ngày thứ hai (24/7/2013 - giờ Colombia)
4 Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$, và $W$ là một điểm trên cạnh $BC$, nằm giữa $B$ và $C$. Các điểm $M$ và $N$ theo thứ tự là chân các đường cao hạ từ các đỉnh $B$ và $C$. Gọi $\omega_1$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BWN$, và $X$ là một điểm trên đường tròn sao cho $WX$ là đường kính của $\omega_1$. Tương tự, $\omega_2$ là đường tròn ngoại tiếp của tam giác $CWM$, và $Y$ là điểm sao cho $WY$ là đường kính của $\omega_2$. Chứng minh rằng ba điểm $X, Y$ và $H$ thẳng hàng.
5 Cho $\mathbb Q_{>0}$ là tập hợp các số hữu tỉ dương, và $f: \mathbb Q_{>0} \to \mathbb R$ là hàm số thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) $f(x)f(y) \geq f(xy)$ với mọi $x, y \in \mathbb Q_{>0}$, (ii) $f(x+y) \geq f(x) + f(y)$ với mọi $x, y \in \mathbb Q_{>0}$, (iii) Tồn tại số hữu tỉ $a> 1$ sao cho $f (a) = a$.
Chứng minh rằng $f(x) = x$ với mọi $x \in \mathbb Q_{>0}$.
6 Cho số nguyên $n\geq 3$ và xét $n+1$ điểm nằm cách đều nhau trên một đường tròn. Ta đánh số các điểm này bằng các giá trị $0,1,\dots, n$, không nhất thiết theo thứ tự, và hai điểm khác nhau thì được đánh hai số khác nhau. Hai cách đánh số được xem là như nhau nếu từ cách này có thể nhận được cách kia bằng cách xoay đường tròn. Một cách đánh số được gọi là đẹp nếu, với bất kì bốn số $a<b<c<d$ với $a+d=b+c$, dây cung nối các điểm được đánh số $a$ và $d$ không cắt dây cung nối các điểm được đánh số $b$ và $c$. Gọi $M$ là số cách đánh số đẹp và $N$ là số các cặp số nguyên dương $(x,y)$ được sắp thứ tự sao cho $x+y\leq n$ và $\gcd(x,y)=1$. Chứng minh rằng $M=N+1$.
Nguồn: Art of Problem Solving
Thứ Bảy, 6 tháng 4, 2013
Đề thi Học sinh giỏi Toán 9, Toán 10 tỉnh Đồng Nai năm 2013
(www.MATHVN.com) - Đề thi Học sinh giỏi Toán 9, Toán 10 tỉnh Đồng Nai năm 2013 và hướng dẫn giải. Kì thi vừa diễn ra đầu tháng 4 này.
Đề Toán 9 và hướng dẫn giải là của thầy Đào Văn Tuấn, THCS Đồng Hiệp gửi. Còn đề thi và hướng dẫn giải Toán 10 là của thầy Văn Đinh Công.
Tải cả 2 đề thi trong file Rar (giải nén ra sẽ được 2 file word): Download.
Đề Toán 9 và hướng dẫn giải là của thầy Đào Văn Tuấn, THCS Đồng Hiệp gửi. Còn đề thi và hướng dẫn giải Toán 10 là của thầy Văn Đinh Công.
Tải cả 2 đề thi trong file Rar (giải nén ra sẽ được 2 file word): Download.
Chủ Nhật, 13 tháng 1, 2013
Đề thi Học sinh giỏi Quốc gia 2013 môn Toán và đáp án
(www.MATHVN.com) - Kì thi chọn học sinh giỏi quốc gia diễn ra từ 9-13/1/2013. Dưới đây là Đề thi Học sinh giỏi Quốc gia 2013 môn Toán. Đề thi gồm 7 câu và được thi trong 2 buổi. Đáp án môn Toán sẽ được chúng tôi cập nhật sau ngay tại bài viết này.
Bài 1. (5,0 điểm)
Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{\sin^2x+\dfrac{1}{\sin^2x}}+\sqrt{\cos^2y+\dfrac{1}{\cos ^2y}}=\sqrt{\dfrac{20y}{x+y}} \textbf{ (1)}\\ \sqrt{\sin^2y+\dfrac{1}{\sin^2y}}+\sqrt{\cos^2x+\dfrac{1}{\cos ^2x}}=\sqrt{\dfrac{20x}{x+y}} \textbf{ (2)} \end{matrix}\right.$$
Bài 2. (5,0 điểm)
Cho dãy số xác định như sau:
$$\left \{ \begin{matrix} a_1&=&1 &\\a_{n+1}&=&3-\dfrac{a_n+2}{2^{a_n}}&, \forall n \geq 1 \end{matrix}\right. $$
Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 3. (5,0 điểm)
Cho tam giác không cân $ABC$. Kí hiệu $(I)$ là đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ và $D,E,F$ là các tiếp điểm của $(I)$ với $BC,CA,AB$. Đường thẳng qua $E$ vuông góc $BI$ cắt $(I)$ tại $K$ khác $E$, đường thẳng qua $F$ vuông góc $CI$ cắt $(I)$ tại $L$ khác $F$. Gọi $J$ là trung điểm $KL$.
a) Chứng minh $D,I,J$ thẳng hàng
b) Giả sử $B,C$ cố định, $A$ thay đổi sao cho tỷ số $\frac{AB}{AC}=k$ không đổi. Gọi $M,N$ tương ứng là các giao điểm $IE, IF$ với $(I)$ ($M$ khác $E$, $N$ khác $F$). $MN$ cắt $IB, IC$ tại $P,Q$. Chứng minh đường trung trực $PQ$ luôn qua 1 điểm cố định.
Bài 4. (5,0 điểm)
Cho trước một số số tự nhiên được viết trên một đường thẳng. Ta thực hiện các bước điền số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào giữa mỗi cặp một số bẳng tổng của hai số thuộc cặp đó. Hỏi sau $2013$ bước, số $2013$ xuất hiện bao nhiêu lần trên đường thẳng trong các trường hợp sau:
a) Các số cho trước là: $1$ và $1000$?
b) Các số cho trước là: $1,2,...,1000$ và được xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải.
Bài 5. (7,0 điểm)
Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa $f\left( 0 \right)=0;f\left( 1 \right)=2013$ và
$$\left( x-y \right)\left( f\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)-f\left( {{f}^{2}}\left( y \right) \right) \right)=\left( f\left( x \right)-f\left( y \right) \right)\left( {{f}^{2}}\left( x \right)-{{f}^{2}}\left( y \right) \right)$$ đúng với mọi $x,y\in \mathbb{R}$, trong đó ${{f}^{2}}\left( x \right)={{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}$
Bài 6. (7,0 điểm)
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ và $D$ thuộc cung $BC$ không chứ điểm $A$. Đường thẳng $\vartriangle $ thay đổi đi qua trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ cắt đướng tròn ngoại tiếp tam giác $ABH, ACH$ tại $M,N$ ($M,N$ khác $H$)
a)Xác định vị trí của đường thẳng $\vartriangle $ để diện tích tam giác $AMN$ lớn nhất
b)Kí hiệu $d_1$ là đường thẳng qua $M$ vuông góc $DB, d_2$ là đường thẳng qua $N$ vuông góc $DC$. Chứng minh giao điểm $P$ của $d_1$ và $d_2$ luôn thuộc 1 đường tròn cố định
Bài 7. (6,0 điểm)
Tìm tất cả bộ sắp thứ tự $\left( a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}} \right)$ thỏa
$$\left \{ \begin{array}{l} ab + a'b' \equiv 1\textbf{(mod 15) (1)}\\ ac + a'c' \equiv 1\textbf{(mod 15) (2)}\\ bc + b'c' \equiv 1\textbf{(mod 15) (3)} \end{array} \right.$$
Với $a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}}\in \left\{ 0,1,...,14 \right\}$.
 |
| Đề thi ngày thứ nhất |
NGÀY THI THỨ NHẤT (11/01/2013)
Bài 1. (5,0 điểm)
Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{\sin^2x+\dfrac{1}{\sin^2x}}+\sqrt{\cos^2y+\dfrac{1}{\cos ^2y}}=\sqrt{\dfrac{20y}{x+y}} \textbf{ (1)}\\ \sqrt{\sin^2y+\dfrac{1}{\sin^2y}}+\sqrt{\cos^2x+\dfrac{1}{\cos ^2x}}=\sqrt{\dfrac{20x}{x+y}} \textbf{ (2)} \end{matrix}\right.$$
Bài 2. (5,0 điểm)
Cho dãy số xác định như sau:
$$\left \{ \begin{matrix} a_1&=&1 &\\a_{n+1}&=&3-\dfrac{a_n+2}{2^{a_n}}&, \forall n \geq 1 \end{matrix}\right. $$
Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 3. (5,0 điểm)
Cho tam giác không cân $ABC$. Kí hiệu $(I)$ là đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ và $D,E,F$ là các tiếp điểm của $(I)$ với $BC,CA,AB$. Đường thẳng qua $E$ vuông góc $BI$ cắt $(I)$ tại $K$ khác $E$, đường thẳng qua $F$ vuông góc $CI$ cắt $(I)$ tại $L$ khác $F$. Gọi $J$ là trung điểm $KL$.
a) Chứng minh $D,I,J$ thẳng hàng
b) Giả sử $B,C$ cố định, $A$ thay đổi sao cho tỷ số $\frac{AB}{AC}=k$ không đổi. Gọi $M,N$ tương ứng là các giao điểm $IE, IF$ với $(I)$ ($M$ khác $E$, $N$ khác $F$). $MN$ cắt $IB, IC$ tại $P,Q$. Chứng minh đường trung trực $PQ$ luôn qua 1 điểm cố định.
Bài 4. (5,0 điểm)
Cho trước một số số tự nhiên được viết trên một đường thẳng. Ta thực hiện các bước điền số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào giữa mỗi cặp một số bẳng tổng của hai số thuộc cặp đó. Hỏi sau $2013$ bước, số $2013$ xuất hiện bao nhiêu lần trên đường thẳng trong các trường hợp sau:
a) Các số cho trước là: $1$ và $1000$?
b) Các số cho trước là: $1,2,...,1000$ và được xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải.
NGÀY THI THỨ HAI (12/01/2013)
Bài 5. (7,0 điểm)
Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa $f\left( 0 \right)=0;f\left( 1 \right)=2013$ và
$$\left( x-y \right)\left( f\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)-f\left( {{f}^{2}}\left( y \right) \right) \right)=\left( f\left( x \right)-f\left( y \right) \right)\left( {{f}^{2}}\left( x \right)-{{f}^{2}}\left( y \right) \right)$$ đúng với mọi $x,y\in \mathbb{R}$, trong đó ${{f}^{2}}\left( x \right)={{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}$
Bài 6. (7,0 điểm)
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ và $D$ thuộc cung $BC$ không chứ điểm $A$. Đường thẳng $\vartriangle $ thay đổi đi qua trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ cắt đướng tròn ngoại tiếp tam giác $ABH, ACH$ tại $M,N$ ($M,N$ khác $H$)
a)Xác định vị trí của đường thẳng $\vartriangle $ để diện tích tam giác $AMN$ lớn nhất
b)Kí hiệu $d_1$ là đường thẳng qua $M$ vuông góc $DB, d_2$ là đường thẳng qua $N$ vuông góc $DC$. Chứng minh giao điểm $P$ của $d_1$ và $d_2$ luôn thuộc 1 đường tròn cố định
Bài 7. (6,0 điểm)
Tìm tất cả bộ sắp thứ tự $\left( a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}} \right)$ thỏa
$$\left \{ \begin{array}{l} ab + a'b' \equiv 1\textbf{(mod 15) (1)}\\ ac + a'c' \equiv 1\textbf{(mod 15) (2)}\\ bc + b'c' \equiv 1\textbf{(mod 15) (3)} \end{array} \right.$$
Với $a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}}\in \left\{ 0,1,...,14 \right\}$.
Thứ Năm, 8 tháng 11, 2012
Đáp án, đề thi học sinh giỏi Toán 12 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2012-2013
Vĩnh Phúc là một trong những tỉnh tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi năm học 2012-2013 sớm nhất. Môn Toán lớp 12 được thi vào ngày 2/11/2012.
MATHVN xin giới thiệu đề thi và đáp án học sinh giỏi môn Toán 12 của tỉnh Vĩnh Phúc năm nay: Download HSG Toan 12 Vinh Phuc
Đăng ký:
Bài đăng (Atom)