Toán học: tháng 1 2016

Bài viết này sẽ giới thiệu khóa luận "GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ VÀ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG" của nhóm tác giả Đinh Tấn Phát - Nguyễn Hữu Quang. Tài liệu do tác giả Nguyễn Hữu Quang gửi đăng trên mathvn.com.

...Phương trình nghiệm nguyên thường gây khó khăn cho học sinh bởi tính không mẫu mực của nó, cụ thể với mỗi bài toán khác nhau cần có phương pháp giải thích hợp. Khi nắm vững nhiều phương pháp giải khác nhau, học sinh có cơ hội chọn lựa được phương pháp hiệu quả nhất cho từng bài. Vì thế trong chương 2, chúng tôi trình bày chín phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên. Đối với mỗi phương pháp, chúng tôi sẽ minh họa bằng các ví dụ với mức độ nâng cao dần, để người đọc có thể nắm được cái cốt lõi trong từng phương pháp, từ đó giúp họ dễ dàng tiếp cận chương tiếp theo của khóa luận.

Một bài toán trong khóa luận

Trong chương 3, chúng tôi mong muốn giúp học sinh có cái nhìn rõ ràng hơn về các dạng phổ biến của phương trình nghiệm nguyên. Với bảy dạng được trình bày trong chương này, học sinh bước đầu khái quát được phương pháp giải phù hợp đối với từng dạng phương trình nghiệm nguyên. Ở mỗi dạng phương trình, chúng tôi đưa ra các ví dụ theo mức độ khó dần và ứng với mỗi ví dụ là những phương pháp giải khác nhau. Các phương pháp này được chúng tôi sắp xếp theo trình tự hiệu quả dần. Thông qua việc vận dụng các phương pháp giải ở chương hai cho các ví dụ của chương này nhằm giúp học sinh có cái nhìn khá toàn diện về phương trình nghiệm nguyên...
...
Toàn bộ khóa luận dài 93 trang A4. Bạn đọc quan tâm có thể tải file PDF ở đây: Download

Cuộc tử chiến tay đôi dẫn tới cái chết của Galois đã được nhiều người nghiên cứu, ngay sau khi xảy ra sự việc ấy. Người em trai của Galois, Alfred Galois, tin rằng anh trai mình là nạn nhân của một sự sắp xếp do cảnh sát thực hiện, mục đích là loại một lãnh tụ Công hòa quá khích. Vài năm sau, Leopold Infelt, một người chuyên viết tiểu sử, cũng đồng ý suy luận của Alfred. Infelt còn nói thêm rằng cô “Stéphanie” bí ẩn là một nhân viên cảnh sát chìm có nhiệm vụ tạo ra cuộc tử chiến tay đôi (Leopold Infelt, Whom the Gods love: The story of Evariste Galois, p. 308-311). Fred Hoyle, ngược lại, cho rằng Galois là một nhà Toán học, tính toán rất giỏi, anh ta đã làm cho các chiến hữu nghi ngờ rằng chàng là một cảnh sát chìm. Rồi chính các chiến hữu của Galois đã tạo ra một cuộc tử chiến tay đôi để loại Galois (Fred Hoyle, Ten Faces of the Univers, Chap 1). Mới đây, Laura Toti Rigatelli lý luận rằng trận tử chiến ấy do chính Galois đạo diễn, chàng quyết định hy sinh đời mình để kích động đám đông nổi dậy (Toti Rigatelli, Evariste Galois).

Galois trên con tem hiếm của Bưu Chính Pháp phát hành năm 1984

Nhiều người cũng xem xét tìm giải đáp cho câu hỏi: Ai là đối thủ của Galois trong cuộc tử chiến ấy? Có nhiều ý kiến không thống nhất.   Tony Rothman, theo hướng của AlexandreDumas, cho rằng Galois bị một kẻ tên là Pescheux d’Herbinville bắn chết. Tên này là thành viên quá khích thuộc nhóm dân quân “Pháo binh Quốc gia”. Theo Mario Livio, đối thủ của Galois trong trận tử chiến không ai khác hơn là anh chàng Ernest Duchâtelet, người đi biểu tình cạnh bên Galois trong ngày kỷ niệm phá ngục Bastille 14 tháng 7 vừa qua. Tôi đồng ý với Rothman và Livio không cho rằng thủ phạm là người nói tới trong số những ý kiến trái ngược nhau ở trên, cũng không cho rằng thủ phạm nằm trong một âm mưu to lớn nào khác. Không có lý do và bằng cớ vững chắc cho các kết luận trên. Đơn giản, tôi ngã theo ý kiến cho rằng Galois là nạn nhân của một vụ tử chiến tay đôi vì danh dự bị xúc phạm khi có một người con gái đẹp xuất hiện (Rothman, Genius and the Biographers, p. 99 và Livio, Equations that Couldn’t be Solved, p.152).

Dưới đây là những đã xảy ra trong những ngày tháng cuối cùng của cuộc đời của Galois. Vào mùa Xuân năm 1832, một trận dịch tả xảy ra ở Paris. Galois được tự do tạm, và được chuyển từ nhà tù Sainte Pélagie về chữa tại bệnh xá mang tên Ngài Faultrier. Ở đây Galois gặp và yêu một người con gái khoảng 16 tuổi tên đầy đủ là Stéphanie Poterin du Montel, gia đình cô này cư ngụ trong khu vực đó. Qua hai mảnh thư tìm được của Stéphanie gởi cho Galois, người ta được biết rằng mối tình không đi tới đâu, và rằng Stéphanie tìm cách xa lánh Galois. Galois như là bị “tàn phá”. Bi thảm hơn bao giờ hết, chàng viết cho người bạn thân Auguste Chevalier, ngày 25 tháng 5, năm 1832: “Làm sao tôi có thể xóa được dấu vết của sự xúc động mãnh liệt này? Làm sao tôi có thể tự an ủi khi chỉ trong một tháng tôi đã kiệt lực vì hạnh phúc lớn nhất của một người đàn ông đã mất? Khi tôi đã không còn niềm vui, không còn hạnh phúc, không còn hy vọng thì tôi sẽ làm gì với cuộc sống của tôi?”(Livio, Equations that Could not be Solved, p.141-142).

Rồi tới một lúc không kềm được sự nóng cháy của trái tim mình, Galois đã vượt qua vòng rào để vào nhà của Stéphanie. Cho rằng mình bị đe dọa, để tự vệ cô nàng đã cho gọi hai người đàn ông để bảo vệ. Hai người này thuộc nhóm người quen biết với Galois trong những lần xuống đường. Và họ đã thách Galois đấu súng tay đôi (Theo truyền thống văn hóa thời bấy giờ, khi danh dự bị xúc phạm, người ta được quyền thách nhau đấu súng hoặc đấu gươm, tiếng Anh và tiếng Pháp đều là Duel). Trong một bức thư Galois viết, trong đêm cuối cùng 29 tháng 5, gởi các “chiến hữu Cộng hòa”, có những chữ “cô Stéphanie tai tiếng và đỏm đáng”. Raspail nhận xét rằng cách dùng chữ của Galois có ý nói rằng cô Stéphanie này thuộc tầng lớp hạ lưu, khác với những gì mà Galois than thở với người bạn thân 4 ngày trước, qua đó ta tưởng chừng như là Stéphanie là mối tình lớn của chàng. Cũng theo Raspail, Galois nói chàng chấp nhận lời thách đấu sau khi tìm mọi cách tránh cuộc đụng độ này. Trong đêm ấy, Galois có viết một bức thư khác gởi cho hai chiến hữu Cộng hòa tên là N.L. và V.D., trong đó chàng cũng có nói rằng mọi thỏa hiệp đã không đạt được, chỉ còn có trận tử chiến tay đôi thôi.

Galois dành hết thời gian còn lại trong đêm cuối cùng để viết bức thư gởi người bạn thân Auguste Chevalier. Trong phần đầu thư, Galois tóm tắt những gì đã làm trong lãnh vực Toán học, phần sau nhiều hơn, có một số điều chàng bổ sung trong đó có một vài định lý. Theo truyền thuyết người ta nói rằng bức thư này chứa tất cả những gì sau này làm nên Thuyết Galois. Điều này không hoàn toàn đúng (như đã phân tích trong chương 1).

Galois gặp các đối thủ vào sáng sớm ngày 30 tháng 5 ở Gentilly phía Nam Paris. Theo báo cáo của tờ nhật báo Le Précurseur phát hành vài ngày sau, thì những người tham dự trận đối đầu chấp nhận hậu quả do sự hên xui may rủi đem lại, nói rõ hơn là chỉ có một trong hai khẩu súng được nạp đạn (Livio, Equations that Couldn’t be Solved, p.126). Sau khi tiếng nổ vang lên, người ta thấy Galois bị trúng vào bụng và ngã xuống. Vài tiếng đồng hồ sau Galois được đưa đến bệnh viện Cochin gần đó, có người em trai 18 tuổi, Alfred Galois, đi theo. Hai anh em đều nhận ra rằng sắp tới phút cuối cùng rồi. Lời cuối cùng của Evariste là “Đừng khóc, Alfred! Anh đã cần tất cả can đảm để sống đến hai mươi tuổi đó em!” (“Ne pleure pas, Alfred ! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans !”) Rồi chàng ra đi mãi mãi, lúc ấy là 10 giờ sáng ngày 30 tháng 5 năm 1832.

Chúng ta kết luận được gì qua cuộc sống và cái chết bi thảm của nhà Toán học trẻ tuổi Galois? Chắc chắn là cuộc sống của chàng không dễ dàng gì. Từ hai lần bị đánh rớt trong kỳ thi vào ĐH Bách khoa cho đến những câu hỏi đặt ra cho bản báo cáo của Galois bởi Viện Hàn Lâm, Galois phải suy nghĩ đến những bước lùi và những tảng đá không cần thiết ném ra để chặn bước đi của chàng. Ngoài ra, truyền thuyết cho thấy rằng Galois là nạn nhân của sự ngược đãi bởi những bộ óc hẹp hòi khép kín của những nhà Toán học “tháp ngà”, rõ ràng điều này không thuyết phục. Người ta vẫn có thể tha thứ cho những nhà Toán học của Viện Hàn Lâm nếu như họ từ chối một người trẻ tuổi chuyên xúi giục nổi loạn, người mà ở tuổi 20 bị đuổi khỏi trường học, người mà có gần một năm phải ngồi tù, và cũng là người có một thành tích quá nổi tiếng là quá khích và bạo động. Nhưng mà không, những người này đã không làm như vậy.   Những nhà Toán học có vai vế nhất thời đó đã xem Galois là một nhà Toán học trẻ tuổi đầy hứa hẹn trước khi chàng qua đời.

Qua những gì được trình bày ở trên thì rõ ràng là kẻ thù tệ hại nhất của Galois không phài là nhà Toán học Cauchy, cũng không phải là ông Hiệu trưởng Guigniault, và cũng không phải là kẻ đối đầu với Galois trong cuộc song đấu chết người. Kẻ thù tệ hại nhất của Galois chính là Galois. Ngay từ những ngày đầu ở trường trung học Louis-le-Grand ta đã thấy thái độ tùy tiện của chàng đối với việc học. Rồi đến chuyện chàng có biểu hiện kiêu căng trong kỳ thi vấn đáp vào trường Bách khoa (người ta thường kể câu chuyện rằng chàng đã bực mình ném cục tẩy xuống sàn nhà trước mặt giám khảo, nhưng chuyện này không biết có hay không). Ở trường Sư phạm, chàng đã chống đối Hiệu trưởng một cách vô lễ khiến ông này không có chọn lựa nào khác là đuổi học chàng. Hành động tương tự như vậy được lặp lại đối với viên giám đốc nhà tù Sainte Pélagie ngay năm sau.   Thái độ hung hăng gần như đe dọa nhà Vua với lưỡi dao đưa cao lên, trong ngày kỷ niệm 14 tháng 7, rồi chàng dẫn đầu đoàn biểu tình quá khích với súng ống “trang bị tận răng”. Tất cả đã nói lên thái độ chống đối điên cuồng những người chung quanh của chàng. Đối với Viện Hàn Lâm, đáng lý chàng phải có những liên hệ thích hợp để nuôi dưỡng sự tin cậy, thay vì nhục mạ một Viện sĩ giữa công chúng khi ông này đang giảng bài. Khi bị khiêu khích dẫn tới cuộc tử chiến tay đôi, chàng có thể nói một lời xin lỗi để thương lượng với đối thủ, và do đó có thể tìm ra một thỏa thuận nhằm tránh được sự đối đầu chết người.

Evariste Galois yên nghỉ trong một khu mộ chung ở nghĩa trang Bourg-la-Reine, vị trí chính xác vẫn không được biết

Có một sự nhất quán trong toàn thể câu chuyện. Ngay từ đầu, Galois đã tin rằng mọi người đều chống lại chàng, cho nên chàng phải tìm cách tự bảo vệ bằng cách hành động theo cách riêng của mình. Chàng luôn luôn nhìn thấy chàng là nạn nhân của những bộ máy lạnh lùng tàn ác. Bộ máy ấy là những người có quyền trong nhà trường, các nhà Toán học trong Viện Hàn Lâm, và chính quyền của nhà Vua. Chàng chống trả một cách điên cuồng mà chàng coi như là tự vệ, hay là bảo vệ “sự thật” theo cách nói của chàng, nhưng đối với những người khác thì như vậy là gây hấn một cách điên rồ. Cuối cùng chàng đã làm cho những người bạn và những người đã từng ủng hộ chàng xa lánh. Bi thảm hơn, giống như điều mà chàng đã từng linh cảm, Galois đã tự mình dồn mình vào góc chết mà mình không thể lùi lại được. Laura Toti Rigatelli có thể sai khi bà cho rằng cuộc tử chiến tay đôi là cuộc tự sát do Galois sắp xếp. Tôi cho rằng đó chỉ là trạm cuối cùng tất yếu của con đường liều lĩnh tự hủy hoại mình.

(còn tiếp)

Tác giả bài viết: Anh Le, Ph.D (Hoa Kỳ)
Được đăng trên www.MathVn.com

Xem thêm: Galois - Phần 1 / Galois - Phần 2

Toán học

Chủ Nhật, 24 tháng 1, 2016

Đề thi thử THPT Quốc gia 2016 môn Toán trường Thuận Thành số 1

Thứ Tư, 20 tháng 1, 2016

Phân tích - hướng giải các bất đẳng thức trong đề thi đại học

Chủ Nhật, 17 tháng 1, 2016

Giải phương trình nghiệm nguyên ở THCS và THPT

Thứ Ba, 12 tháng 1, 2016

Đề thi thử đại học 2016 môn Toán có đáp án của trường Hậu Lộc 2

Thứ Hai, 11 tháng 1, 2016

Galois - Phần 3: Tử chiến tay đôi lúc bình minh

Thứ Năm, 7 tháng 1, 2016

Đề thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2016

Thứ Bảy, 2 tháng 1, 2016

4 đề thi thử đại học môn Toán có đáp án của trường Lương Thế Vinh HN